суббота, 14 января 2012 г.

ТОЭ постоянный ток


Случайно нашлась в архиве методичка с задачами и теорией по постоянному току вот решил поделиться.

ПОСТОЯННЫЙ ТОК
·       Сила тока:
clip_image002,
где Q - заряд, прошедший  через поперечное сечение проводника за время t.
·       Плотность тока:
clip_image004,
где S - площадь поперечного сечения проводника.
·       Связь плотности тока со средней скоростью clip_image006 направленного движения заряженных частиц:
clip_image008,
где e - заряд частицы; n - концентрация заряженных частиц.
·       Закон Ома:

а) clip_image010  (для участка цепи, не содержащего э.д.с.),

где clip_image012- разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи; R - сопротивление участка;
б) clip_image014  (для участка цепи, содержащего э.д.с.)
где x - э.д.с. источника тока; R - полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);
в) clip_image016 (для замкнутой (полной) цепи),
где R - внешнее сопротивление цепи; Ri - внутреннее сопротивление цепи;
·       Сопротивление R и проводимость G проводника:
clip_image018;clip_image020,
где r - удельное сопротивление; g - удельная проводимость; l - длина проводника; S - площадь поперечного сечения проводника.
·       Сопротивление системы проводников:
а) clip_image022(при последовательном соединении);
б) clip_image024 (при параллельном соединении),
где clip_image026 - сопротивление i-го проводника.
·       Работа тока:
clip_image028, clip_image030,clip_image032.
Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две - для участка, не содержащего э.д.с.
·       Мощность тока:
clip_image034, clip_image036,clip_image038.
·       Закон Джоуля-Ленца:
clip_image040.
·       Закон Ома в дифференциальной форме:
clip_image042,
где g - удельная проводимость, E -напряженность электрического поля; j - плотность тока.
·       Связь удельной проводимости с подвижностью b заряженных частиц (ионов):
clip_image044,
где Q - заряд иона; n - концентрация ионов; b+ и b- - подвижности положительных и отрицательных ионов.



·       Первое  правило Кирхгофа
Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся а узле, равна нулю, т.е.
clip_image046                                                                                         (4)
·       Второе правило Кирхгофа
В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветв­ленной электрической цепи, алгебраическая сумма падений напряжений (произведений сил токов J на сопротивление R) на отдельных участках цепи этого контура равна алгебраической сумме ЭДС Ek, встречающихся в контуре:
clip_image048                                                                                              (5)
При решении задач рекомендуется следующий порядок расчета разветвленной цепи постоянного ток. Произвольно выбрать и обозначить на схеме цепи направления токов во всех участках цепи.
1.   Подсчитать число N узлов в цепи. Записать первое правило Кирхгофа для каждого из N—1 узлов,  Запись первого правила Кирхгофа для оставшегося узла не дает ничего нового, так как является простым следствием уже написанных уравнений для N—1 узлов].
3.    Выделить в разветвленной цепи всевозможные замкнутые контуры и, условившись о направлении обхода, записать систему уравнений по второму правилу Кирхгофа, но не для всех этих контуров, а лишь для некоторых из них, так как второе правило Кирхгофа для части контуров являются следствием таких же уравнений для остальных контуров. В разветвленной цепи, состоящей из m участков и N узлов, число независимых уравнений второму правилу Кирхгофа равно N—(m1). При составлении этих уравнений контуры следует выбирать так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входивший в уже рассмотренные контуры.
4.   Если в результате расчета получается отрицательное значение силы тока в каком-либо участке цепи, то это означает, что в данном участке цепи электрический ток в действительности идет в направлении, противоположном тому, которое было выбрано в начале расчета (т. е. в п. 1).
Примеры решения задач по теме «ПОСТОЯННЫЙ ТОК»
Пример 1. Источники тока с электродвижущими силами ε1 и ε2 включены в цепь, как показано на рис. 19.2. Определить силы токов, текущих в сопротивлениях R2 и R3, если ε1= 10 В и ε2=4 В, а R1=R4=20м и R2=R3=4 Ом. Сопротивлениями источников тока пренебречь.
Решение. Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью законов Кирхгофа. Чтобы найти четыре значения силы токов, следует составить четыре уравнения.

Указание. Перед составлением уравнений по закону Кирхгофа необхо­димо, во-первых, выбрать произвольно направления токов, текущих через сопротивления, указав их стрелками на чертеже, и, во-вторых, выбрать на­правление обхода контуров (последнее только для составления уравнений по второму закону Кирхгофа).
clip_image063
Выберем направления токов, как они показаны на рис. 19.2, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.
Рассматриваемая в задаче схема имеет два узла: А и В. Но состав­лять уравнение по первому закону Кирхгофа следует только для одного узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет следствием первого уравнения.
При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необ­ходимо соблюдать правило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком плюс; ток, отходящий от узла, - со знаком минус.
По первому закону Кирхгофа для узла В имеем
I1+I2+I3-I4=0.
Недостающие три уравнения получим по второму закону Кирхгофа. Число независимых уравнений, которые могут быть составле­ны по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров (в нашем случае контуров шесть, а независимых уравнений три). Чтобы найти необходимое число независимых уравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь, не участвовав­шая ни в одном из ранее использованных контуров.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необ­ходимо соблюдать следующее правило знаков:
а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлени­ем обхода контуров, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус,
б) если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, то соответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае - со знаком минус.
По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров AR1BR2A, AR1BR3A, AR3BR4A:
I1R1 - I2R21 - ε2                                                        (1)
I1R1- I3R3= ε1                                                                                  (2)
I3R3 + I4R4=0.                                                            (3)
Подставив в равенства (1)-(3) значения сопротивлений и ЭДС, получим систему уравнений:
I1+I2+I3-I4=0,
2I1-4I2=6,
2I1-4I3=10,
4I3+2I4=0.
Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользо­ваться методом определителей (детерминантов). С этой целью пере­пишем уравнения еще раз в следующем виде:
I1+I2+I3-I4=0,
2I1-4I2+0+0=6,
2I1+0-4I3+0=10,
0+0+4I3+2I4=0.
Искомые значения токов найдем из выражений
I2=ΔI2/Δ и I3=ΔI3/Δ,
где Δ - определитель системы уравнений; ΔI2 и ΔI3 - определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя А столбцами, составленными из свободных членов четырех вышеприведенных уравнений, находим
clip_image065
clip_image067clip_image069
Отсюда получаем
I2=0; I3 = -1 А.
clip_image074Знак минус у значения силы тока I3 свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, направление тока I3 было указано противоположно истинному. На самом деле ток I3 те­чет от узла В к узлу А.
Пример 2. Сила тока в про­воднике сопротивлением R=20 Ом нарастает в течение вре­мени Δt=2 с по линейному за. кону от I0=0 до Imax=6 А (рис. 19.3). Определить количество теплоты Q1, выделившееся в этом проводнике за первую секунду, и Q2 - за вторую, а также найти отношение этих количеств теплоты Q2/Q1.
Р е ш е н и е. Закон Джоуля – Ленца
 Q= I2Rt применим в случае постоянного тока (I =const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде
dQ= I2Rdt.                                                               (1)
Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В на­шем случае
I=kt,                                                                           (2)
где k - коэффициент пропорциональности, равный отношению приращений силы тока к интервалу времени, за который произошло это приращение:
k=ΔI/Δt.         
С учетом равенства (2) формула (1) примет вид
dQ=k2Rt2dt.                                                               (3)
Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный промежуток времени Δt, выражение (3) следует проинтегрировать в пределах от t1 до t2:
clip_image076
При определении количества теплоты, выделившегося за первую секунду, пределы интегрирования t1 =О, t2= 1 с и, следовательно,
Q1=60 Дж,
а за вторую секунду - пределы интегрирования t1= 1 с, t2=2 с и тогда
Q2=420 Дж.
Следовательно,
Q2/Q1=7,
 т. е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую секунду.


ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
Пример  1*. Сопротивление проводящей среды. Металлический шар радиусом а окружен концентрической тонкой металличес­кой оболочкой радиусом b. Пространство между этими элект­родами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением ρ. Найти сопротивление меж­электродного промежутка.
Решение. Выделим мысленно тонкий сферический слой между радиусами r  и  r + dr. Линии тока во всех точках этого слоя идут перпендикулярно ему, поэтому такой слой можно рассматривать   как   цилиндрический   проводник   длиной   dr с площадью поперечного сечения 4πr2. Воспользовавшись фор­мулой clip_image078, запишем
clip_image080.
Проинтегрировав это выражение по r от a до b, получим
clip_image082
Пример 2*. Два металлических шарика одинакового радиуса а находятся в однородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением ρ. Найти сопротивление среды между шариками при условии, что расстояние между шариками значительно больше их размеров.
Решение. Мысленно зарядим шарики + q и - q. Поскольку шарики находятся далеко друг от друга, электричес­кое поле вблизи поверхности каждого из них определяется практически только зарядом прилегающего шарика, причем его заряд можно считать распределенным равномерно по поверх­ности. Окружив шарик с положительным зарядом концентри­ческой сферой, непосредственно прилегающей к его поверх­ности, запишем выражение для тока, протекающего через эту сферу:
clip_image084,
где   j — плотность   тока.   Воспользовавшись   законом   Ома (I = Е/ρ) и формулой clip_image086, получим
clip_image088
Теперь найдем разность потенциалов между шариками: clip_image090.
Искомое сопротивление clip_image092.
Этот результат справедлив независимо от значения диэлектри­ческой проницаемости среды.
Пример 3. Два проводника произвольной формы находятся в безграничной однородной слабо проводящей среде с удель­ным сопротивлением ρ и диэлектрической проницаемостью clip_image094. Найти значение произведения RC для данной системы, где R — сопротивление среды между проводниками, С — взаимная ем­кость проводников при наличии среды.
Решение. Зарядим мысленно проводники зарядами + q и - q. Так как среда между ними слабо проводящая, то по­верхности проводников являются эквипотенциальными и конфи­гурация поля такова же, как и при отсутствии среды.
Окружим, например, положительно заряженный проводник замкнутой поверхностью S, непосредственно прилегающей к поверхности проводника, и вычислим отдельно R и С:
clip_image096,
clip_image098,
где интегралы взяты по данной поверхности S. При вычислении R был использован закон Ома
clip_image100, а при вычислении С — теорема Гаусса.
clip_image101Произведение полученных выражений
clip_image103
Пример 4*. Условия на границе проводника. Проводник с удель­ным сопротивлением ρ граничит с диэлектриком, проницаемость которого clip_image094. В некоторой точке А у поверхности проводника электрическая индукция равна D, причем вектор D направлен от проводника и составляет угол clip_image106 с нормалью к поверхности. Найти поверхностную плотность зарядов на проводнике и плот­ность тока вблизи точки А.
Решение. Поверхностная плотность зарядов на провод­нике
clip_image108
Плотность тока найдем по закону Ома: clip_image110. Из уравнения непрерывности clip_image112  следует, что нормальные составляющие вектора j равны, а так как в диэлектрике jn=0  (тока нет), то и в проводнике jn = 0. Стало быть, вектор j в проводнике касателен его поверхности. Это же относится и к вектору Е внутри проводника.
С другой стороны, из теоремы о циркуляции вектора Е сле­дует, что тангенциальные составляющие его по разные стороны границы раздела одинаковы, а значит, clip_image114, где clip_image116 –  тангенциальная составляющая поля Е в диэлектрике.
Учитывая все это, получим
clip_image118
Пример 5*.  Зазор между обкладками плоского конденсатора за­полнен последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 толщиной l1  и l2 с проницаемостями clip_image120 и clip_image122 и удельными сопро­тивлениями ρ1 и ρ2. Конденсатор находится под постоянным напряжением U, причем электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2. Найти поверхностную плотность сторонних зарядов на границе раздела диэлектрических слоев.
Решение.  Искомая  поверхностная  плотность зарядов
clip_image124                                                                   (1)
Для определения  Е1 и Е2 воспользуемся двумя условиями: из того факта, что l1 = l2, следует clip_image126 и,  кроме того,clip_image128. Решив два последних уравнения, найдем Е1 и Е2- Их подстановка в (1) приводит к следующему результату:
clip_image130
Отсюда видно, чтоclip_image132 приclip_image134.
clip_image135Пример 6*. Закон  Ома  для  неодно­родного участка цепи. В схеме (рис.3) известны э. д. с. W clip_image137 и clip_image139  источников, сопротивления R и Ro, а также емкость С конденсатора. Внутренние сопротивления источников пренебре­жимо малы. Найти заряд на обкладке 1 конденсатора.
Решение. В соответствии с законом Ома для замкнутой цепи, содержащей сопротивления R и Ro, запишем
clip_image141,
где положительное направление выбрано по часовой стрелке. С другой стороны, для неоднородного участка aRb цепи
clip_image143
а для участка аСb
clip_image145.
Решив совместно эти три уравнения, получим
clip_image147.
Заряд на обкладке 1 определяется формулой clip_image149. Поэтому окончательный результат
clip_image151
Видно, что при clip_image153 заряд q1 > 0, и наоборот.

Пример 7*. Неоднородный проводник. Длинный проводник круглого сечения площадью S сделан из материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния r до оси проводника как clip_image155, где clip_image157 — постоянная. По проводнику течет ток I. Найти:
1) напряженность Е поля в проводнике;
2) сопротивление единицы длины проводника.
Решение. 1. Напряженность Е поля по закону Ома свя­зана с плотностью тока j, а j — с током I, поэтому можно записать
clip_image159
Напряженность Е одинакова во всех точках сечения данного проводника, т. е. не зависит от r. В этом легко убедиться, взяв прямоугольный контур внутри проводника так, чтобы одна сто­рона контура совпадала, например, с осью проводника, и затем применив к этому контуру теорему о циркуляции вектора Е.
Таким образом, Е можно вынести из-под интеграла и мы получим в результате интегрирования
clip_image161
2. Сопротивление   единицы   длины   проводника   можно определить с помощью формулы clip_image163. Поделив обе части этого равенства на длину I участка проводника, к которому относятся R и U, найдем
clip_image165
Пример 8*. Работа источника э. д. с. Стеклянная пластина це­ликом заполняет зазор между обкладками плоского конденса­тора, емкость которого при отсутствии пластины равна Со. Кон­денсатор подключен к источнику постоянного напряжения U. Найти механическую работу, которую необходимо совершить против электрических сил, чтобы извлечь пластину из конден­сатора.
Решение. Согласно закону сохранения энергии
clip_image167                                                                                      (1)
где Амех — совершенная внешними силами механическая рабо­та против электрических сил;  
Аист — работа источника в этом процессе; clip_image169 — соответствующее приращение энергии конденсатора (мы считаем, что участие других видов энергии в изменении энергии системы пренебрежимо мало).
Найдем clip_image169 и Аист. Из формулы для энергии конденсатора (clip_image171) следует, что при U = const
clip_image173                                                                (2)
Так как емкость конденсатора при извлечении пластины умень­шается (clip_image175С<0), то уменьшается и заряд конденсатора (clip_image177<0). Последнее означает, что заряд прошел через источник против направления действия сторонних сил и источник совершил от­рицательную работу:
clip_image179                                                                                                (3)
Из сравнения формул (3) и (2) следует
clip_image181
После подстановки последнего выражения в (1) получим
clip_image183
Таким образом, извлекая пластину из конденсатора, мы (внешние силы) совершаем положительную работу (против электрических сил), при этом источник э. д. с. совершает отрицательную работу и энергия конденсатора уменьшается:
clip_image185
clip_image186Пример 9*.  Переходные процессы. Цепь состоит из источника постоянной э. д. с. clip_image094 и последовательно подключенных к нему сопротивления R и конденсатора С. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало. В момент t = 0 емкость конден­сатора быстро (скачком) уменьшили в clip_image189 раз. Найти ток в цепи как функцию времени.

Решение. Запишем закон Ома для неоднородного участ­ка цепи clip_image191:
clip_image193
Учтем, что clip_image195
clip_image197                                                                                         (1)
Продифференцируем это равенство по времени, принимая во внимание, что в нашем случае
(q уменьшается) clip_image199:
clip_image201
Интегрирование последнего уравнения дает
                                 clip_image203
где clip_image205 определяется условием (1). Действительно,
clip_image207
причем clip_image209 — заряд конденсатора до изменения его ем­кости. Поэтому
clip_image211
Пример 10*. Конденсатору емкостью С сообщили заряд q0 и за­тем в момент t = 0 его замкнули на сопротивление R. Найти зависимость от времени t количества теплоты, выделившегося на сопротивлении.
clip_image212Решение. Искомое количество теплоты
clip_image214. (1)
откуда видно, что прежде всего надо найти зависимость I(t). Воспользуемся с этой целью законом Ома для участка цепи clip_image216:
clip_image218
или
clip_image220(2)
Продифференцируем (2) по времени:
clip_image222
Проинтегрировав последнее уравнение, получим
clip_image224(3)
где I0 определяется условием (2) при q = q0, т. е. clip_image226. После подстановки (3) в (1) и соответствующего интегри­рования получим
clip_image228
χm=0,209·(-1,3.10-9) clip_image230-2,7·10-10 м3/моль.



0bb189efbfd22f71d6195db50b8fe098